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Ist 0,999... gleich 1?

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3. Jan 2018, 14:10

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 Ist 0,999... gleich 1?
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In der Schule habe ich gelernt, dass 0,999... = 1 ist.
(Also ein unendlicher Dezimalbruch 0,999... mit unendlich vielen Neunen ist eins.)
Es gab dafür auch eine Reihe von Beweisen.

Ich denke aber, dass man es gar nicht beweisen kann, sondern nur definieren bzw. festlegen.

In der Schulmathematik selbstverständlich, verhält sich die Sache komplizierter.
So kann ich annehmen, dass 0,999... kleiner ist als Eins, und zwar um einen Betrag, der kleiner ist, als die kleinste Reelle Zahl, die größer ist als Null.

Ich kann ja schreiben:

0,9+0,1=1
0,99+0,01=1
0,999+0,001=1
0,999...+d=1

mit d is die Differenz zu 1, wenn man unendlich viele Neunen anfügt.
Es ist eine infinitesimale Zahl, also eine unendlich kleine positive Zahl.

Solche Zahlen gibt es im Bereich der reellen Zahlen nicht. Aber es gibt sie im Bereich der hyperreellen Zahlen.

In der Schulmathematik ist Unendlich keine Zahl, im Bereich der hyperreellen Zahlen schon.

Mir war schon immer suspekt, dass wir in der Schule mit Unendlich jonglierten, ohne dessen Eigenschaften und die verschiedenen Stufen der Unendlichkeit zu beachten.

Die Beschäftigung mit solchen Werten füllt Geist und Seele mit Glück.


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3. Jan 2018, 19:34

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Das erinnert mich an Drittelungen von Zahlen, die nicht glatt durch 3 teilbar sind, z. B. die 1:

1 / 3 = 0,333~

0,333~ * 2 = 0,666~, oder aufgerundet 0,667

0,333~ * 3 = eben im eigentlichen Sinne 0,999~, oder aufgerundet einfach 1


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3. Jan 2018, 23:19

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Für mich ist 1/3 um einen unendlich kleinen Wert größer als 0,333...

Es ist eben tatsächlich gerundet.


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4. Jan 2018, 01:10

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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0,999 ist nicht 1.

Weiss nicht was du da gelernt hast. Du kannst es auf 1 aufrunden.

Nestor hat geschrieben:
eben im eigentlichen Sinne 0,999~, oder aufgerundet einfach 1


Die Betonung liegt auf "aufgerundet" aber nicht 0.999 = 1

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4. Jan 2018, 11:22

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Es geht nicht um 0,999, sondern um 0,999... . also mit unendlich vielen Neunen.

Dafür gibt es im Bereich der reellen Zahlen einige Beweise.

Ich denke nur, dass sie nicht vollständig sind, ohne dass man annimmt, dass eine Zahl mit einem unendlich kleinen Betrag gleich Null ist. Das wäre dann eine Art Axiom.

Jeder endliche Dezimalbruch hat dann auch eine unendliche Darstellung.

Ich denke aber, dass es in vielen Fällen nützlicher ist, die beiden Darstellungen zu unterscheiden.

Dann kann man zum Beispiel bei der Integral- und Differentialrechnung auf die die "Epsilontik" *** Der Link ist nur für Mitglieder sichtbar, zum Login. *** verzichten.


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4. Jan 2018, 11:41

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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4. Jan 2018, 15:27

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Sag ich doch.
Und die Differenz führt zu folgendem schönen:

0/0 ist nicht definiert.

Aber:
(1-0,999...)/(1-0,999...)= d/d=1, auch wenn d unermesslich klein ist.

Das ist sicher für viele Mathelehrer verwirrend.

"d" ist hierbei eine unendlich kleine Größe, eine Art Monade.
Sie ist so sehr fast 0, dass man sie meist vernachlässigen kann.


In der klassischen Schulmathematik ist es aber nicht definiert.

Vor ca. 15 Jahren habe ich die "komischen Zahlen" erfunden, mit denen man solche Aufgaben bequem lösen konnte. Dann fand ich: ein paar Jahre zu spät.
Mit den hyperrellen Zahlen und den Surrealen Zahlen gab es bereits Lösungen.

Es gibt hyperreelle Zahlen, die liegen dichter an Null als jede reelle Zahl.

Zwischen Null und jede beliebige reelle Zahl passen unendlich viele weitere reelle Zahlen mit endlichen Entfernungen von Null. Nur die Entfernung von hyperreellen Zahlen von Null kann unendlich klein sein, ohne Null zu erreichen, und ohne dass eine reelle Zahl dazwischengequetscht werden kann.

Das ist sehr verwirrend und seelisch erhebend, da wir es hier mit einer Art Schatten geisterhafter Zahlen zu tun haben.


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5. Jan 2018, 10:48

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Ich gebe auf :wiwi

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5. Jan 2018, 13:48

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Das haben wir auch mal gelernt. Mit Periode 9. Jedenfalls gibt es nicht 1.

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5. Jan 2018, 13:55

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Newton und Leibnitz haben auch schon so gedacht.

Im 19. Jahrhundert behaupteten dann die damaligen Mathematiker, das sei unpräzise. Und sie erfanden Grenzwertbetrachtungen. Die sind auch nicht falsch, aber sehr unanschaulich.


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6. Jan 2018, 12:14

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 Re: Ist 0,999... gleich 1?
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Hutschi hat geschrieben:
Newton und Leibnitz haben auch schon so gedacht.


Ehrlich ich hab was mit denen gemeinsam :shock: You make my day :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

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